[2015년 덕이고]

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[2학년(이과) 2학기 중간 확률과 통계]

여학생 [eqn: 3]명과 남학생 [eqn: 5]명이 회의를 하기 위하여 원탁에 둘러앉을 때, 여학생 [eqn: 3]명이 모두 이웃하여 앉는 방법의 수는? [3.5점]

⑤

① [eqn: 120]	② [eqn: 240]	③ [eqn: 480]

④ [eqn: 600]	⑤ [eqn: 720]

남학생 [eqn: 14]명과 여학생 [eqn: 2]명이 일렬로 설 때, 여학생끼리는 이웃하지 않고 남학생끼리는 서로 이웃한 학생 수가 항상 짝수가 되도록 줄을 서는 경우의 수는 [eqn: A TIMES 14!]이다. 자연수 [eqn: A]의 값은?
[4.4점]

②

① [eqn: 58]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 50]

방정식 [eqn: x+y+z=9]에 대하여 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 양의 정수인 해의 개수는? [4.0점]

⑤

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

[4~5] 두 집합 [eqn: X=left{1,```2,```3,```4,```5right], [eqn: Y=left{a,```b,```c,```d,```e,```f,```g right]에 대하여 다음을 구하시오.

집합 [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} != x _{2}]일 때,
[eqn: f(x _{1} ) != f(x _{2} )]를 만족하는 함수 [eqn: f``:``X -> Y]의 개수는? [4.0점]

③

① [eqn: 2480]	② [eqn: 2500]	③ [eqn: 2520]

④ [eqn: 2540]	⑤ [eqn: 2560]

치역이 [eqn: LEFT { b,```c,```f RIGHT }]가 되는 함수 [eqn: g```:``X -> Y]의 개수는? [4.0점]

①

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 190]

보호하는 강아지의 수와 고양이의 수가 같은 유기동물 보호센터에서 [eqn: 3]마리의 동물을 선택하여 입양을 보내려한다. 동물의 종류의 구분 없이 [eqn: 3]마리를 선택하는 경우의 수가 강아지에서 [eqn: 2]마리, 고양이에서 [eqn: 1]마리를 선택하는 경우의 수의 [eqn: 2.5]배일 때, 이 유기동물 보호센터에 속한 전체 동물의 수는? (단, 유기동물 보호센터에는 고양이와 강아지만 있다.) [4.3점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

점심 메뉴 할인 이벤트를 소개하는 패스트 푸드점의 광고이다.

패스트 푸드점의 전단지에 적혀 있는 퀴즈의 정답은? [3.5점]

점심 이벤트

다음 퀴즈를 맞히는 분들께 한우불고기주니어를 [eqn: 20]년 전의 가격으로 할인해 드립니다.

-----------------<퀴즈>-----------------

B	U	L	G	O	G	I

위 [eqn: 7]개의 알파벳을 일렬로 나열할 때, B가 I의 왼쪽에 오고 I는 U의 왼쪽에 오도록 나열하는 방법의 수를 구하시오.

①

① [eqn: 420]	② [eqn: 410]	③ [eqn: 400]

④ [eqn: 390]	⑤ [eqn: 380]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)]의 개수는? [4.5점]

④

(가) [eqn: x LEQ y<z LEQ 15]

(나) [eqn: x TIMES z]와 [eqn: y TIMES z]는 모두 홀수이다.

① [eqn: 76]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 92]

같은 종류의 공 [eqn: 18]개를 같은 종류의 상자 [eqn: 3]개에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 [eqn: 3]개 이상의 공이 들어가도록 넣는 경우의 수는? [4.0점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

자연수 [eqn: n], [eqn: k]에 대하여 자연수 분할과 집합의 분할에 대한 설명이다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: P(n,```2)= LEFT | {n} over {2} RIGHT |]

ㄴ. [eqn: S(n,```n-1)= _{n} {rmC} _{2}]

ㄷ. [eqn: P(n,```k)=P(n-1,```k-1)+P(n-k,```k)(n GEQ k)]

ㄹ. [eqn: k _{1} <k _{2} <n]을 만족시키는 세 자연수 [eqn: k_1], [eqn: k_2], [eqn: n]에
대하여 [eqn: P(n,```k _{1} ) LEQ P(n,```k _{2} )]이다.

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

다항식 [eqn: (x-a) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수와 상수항의 합이 [eqn: 0]일 때, 양의 실수 [eqn: a]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 10]	② [eqn: sqrt {10}]	③ [eqn: root {3} of {10}]

④ [eqn: root {4} of {10}]	⑤ [eqn: root {5} of {10}]

두 주사위 [eqn: A], [eqn: B]를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. 두 수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: S(a,```b)]를 [eqn: 50] 이하의 자연수로 이루어진 첫째항이 [eqn: a], 공차가 [eqn: b]인 등차수열의 항의 개수의 최댓값으로 정의하자. 예를 들어 두 주사위 [eqn: A], [eqn: B]를 동시에 던져서 나온 눈의 수가 각각 [eqn: 5], [eqn: 6]이면 [eqn: 50] 이하의 자연수로 이루어진 첫째항이 [eqn: 5], 공차가 [eqn: 6]인 등차수열은 [eqn: 5], [eqn: 11], [eqn: 17], [eqn: 23], [eqn: 29], [eqn: 35], [eqn: 41], [eqn: 47]이므로 [eqn: S(5,```6)=8]이다. 이 때, [eqn: S(a,```b)=24]일 확률은? [4.5점]

⑤

① [eqn: {1} over {36}]	② [eqn: {1} over {18}]	③ [eqn: {1} over {9}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

사건 전체의 집합 [eqn: S]의 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이고, [eqn: A CUP B=S], [eqn: {rmP}(A)=3{rmP}(B)]일 때, [eqn: {rmP}(A)]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 사람의 생일이 모두 [eqn: 9]월일 때, 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률은? [3.7점]

④

① [eqn: {1} over {900}]	② [eqn: {11} over {225}]	③ [eqn: {87} over {900}]

④ [eqn: {22} over {225}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라고 할 때, [eqn: 2a ^{2} -3ab+b ^{2} =0]일 확률은? [4.3점]

②

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

[eqn: A]상자에는 빨간 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 6]개가 들어 있고, [eqn: B]상자는 비어 있다. [eqn: A]상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼내어 빨간 공이 나오면 [실행1]을, 빨간 공이 나오지 않으면 [실행2]를 할 때, 실행이 끝난 후 [eqn: B]상자에 빨간 공이 [eqn: 1]개 들어 있을 확률은?
[4.5점]

④

[실행1] 꺼낸 [eqn: 2]개의 공을 [eqn: B]상자에 넣는다.

[실행2] 꺼낸 [eqn: 2]개의 공을 [eqn: B]상자에 넣고, [eqn: A]상자에서
임의로 [eqn: 2]개의 공을 더 꺼내어 [eqn: B]상자에 넣는다.

① [eqn: {5} over {7}]	② [eqn: {9} over {14}]	③ [eqn: {15} over {28}]

④ [eqn: {3} over {7}]	⑤ [eqn: {3} over {14}]

건 크랜베리 [eqn: 9]개와 토마토 [eqn: 3]개가 들어있는 리코타 치즈 샐러드 그릇에서 리코타 치즈를 듬뿍 바른 빵에 토핑을 한 개씩 올려 두 번 먹을 때, 두 번 모두 토마토를 토핑으로 올린 빵을 먹을 확률은? [4.0점]

④

① [eqn: {1} over {22}]	② [eqn: {3} over {22}]	③ [eqn: {5} over {22}]

④ [eqn: {7} over {22}]	⑤ [eqn: {9} over {22}]

서술형

등식 [eqn: {} _{n-1} {rmC} _{r-1} + _{n-1} {rmC} _{r} = _{n} {rmC} _{r} `(0 LEQ r<n)]이 성립함을 증명하시오. [8.0점]

[eqn: {} _{n} {rmC} _{r} `= {n!} over {r!(n-r)!}]

[eqn: (좌변)= {(n-1)!} over {r!(n-r-1)!} + {(n-1)!} over {(r-1)!(n-r)!}]

[eqn: ={(n-r)(n-1)!} over {r!(n-r)!} + {r cdot(n-1)!} over {r!(n-r)!}]

[eqn: ={(n-1)!} over {r!(n-r)!} LEFT { (n-r)+r RIGHT }]

[eqn: ={(n-1)!} over {r!(n-r)!} cdotn][eqn: ={n!} over {r!(n-r)!}]

log([eqn: {} _{4} {rmH} _{1} + _{4}{rmH} _{2} + _{4}{rmH}_{3} +···+ _{4}{rmH} _{9} + _{4} {rmH} _{10}])의 값을 구하시오. [5.0점]

[eqn: 3]

덕이고등학교 전체 학생을 대상으로 수학동아리 가입 여부를 조사한 결과 남학생의 [eqn: 30%]와 여학생의 [eqn: 40%]가 수학 동아리에 가입하였다고 한다. 수학동아리에 가입한 학생 중 임의로 [eqn: 1]명을 선택할 때, 이 학생이 남학생일 확률을 [eqn: rmP _{1}], 여학생일 확률을 [eqn: rmP _{2}]라 하자. [eqn: rmP _{1} =3P _{2}]일 때, [eqn: rmP _{1}]과 [eqn: rmP_2]의 값을 구하시오. (단, 남학생일 사건을 [eqn: A]라 하고, 수학동아리에 가입할 사건을 [eqn: B]라 한다.) [8.0점]

[eqn: rmP_1 = 3 over 4], [eqn: rmP_2 = 1 over 4]

어느 학교 전체 학생을 대상으로 일주일 동안 패스트 푸드점을 이용한 횟수를 조사하여, 일주일에 [eqn: 4]회 이상 이용한 집단 [eqn: A]와 [eqn: 4]회 미만인 집단 [eqn: B]로 분류하였더니, 집단 [eqn: B]에 속한 학생이 전체의 [eqn: 40%]이었다. 또 집단 [eqn: A], [eqn: B]에 속한 학생 중에서 비만인 학생은 각각 [eqn: 70%], [eqn: 40%]이었다. 전체 학생 중에서 임의로 뽑힌 한 학생이 비만일 때, 이 학생이 [eqn: A]집단에 속할 확률을 구하시오. [9.0점]

[eqn: 21 over 25]

1. 전체 학생 중에서 임의로 택한 학생이 집단 [eqn: A], [eqn: B]
에 속하는 학생인 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B] 라 하고
비만인 학생의 사건을 [eqn: C] 라고 한다.

2. 풀이과정 안에 확률의 곱셈정리가 들어가도록
서술하시오.

[2015년 덕이고]

[2학년(이과) 2학기 중간 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com